1.4. Factores de Interés y su empleo

Factor de pago único

El factor fundamental en la ingeniería económica es el que determina la cantidad de dinero F que se acumula después de n años (o periodos), a partir de un valor único presente P con interés compuesto una vez por año (o por periodo). Recuerde que el interés compuesto se refiere al interés pagado sobre el interés. Por consiguiente, si una cantidad P se invierte en algún momento t = 0, la cantidad de dinero F1 que se habrá acumulado en un año a partir del momento de la inversión a una tasa de interés de i por ciento anual será:

Invierta la situación para calcular el valor P para una cantidad dada F que ocurre n periodos en el futuro. Tan sólo resolver la ecuación anterior para P.

Ejemplo:

Un ingeniero industrial recibió un bono de $12 000 que desea invertir ahora. Quiere calcular el valor equivalente después de 24 años, cuando planea usar todo el dinero resultante como enganche o pago inicial de una casa de vacaciones en una isla. Suponga una tasa de retorno de 8% anual para cada uno de los 24 años. a) Determine la cantidad que puede pagar inicialmente.

Solución

Los símbolos y sus valores son:

P = $12 000 F =?  i = 8% anual n = 24 años

El diagrama de flujo de efectivo es el mismo que el de la figura

F = P(1 + i)n = 12 000(1 + 0.08)²⁴

= 12 000(6.341181)

= $76 094.17

La ligera diferencia en las respuestas se debe al error de redondeo introducido por los valores de factor tabulados. Una interpretación equivalente de este resultado es que los $12 000 actuales equivaldrán a $76 094 después de 24 años de crecer al 8% por año, anualmente compuesto.

Factor de serie uniforme

Factor de serie uniforme (usando el factor de valor presente)

El valor presente P equivalente de una serie uniforme A de flujo de efectivo al final del periodo se muestra en la Figura 1‑4a. Puede determinarse una expresión para el valor presente considerando cada valor de A como un valor futuro F, calculando su valor presente con el factor P/F para luego sumar los resultados:

Figura 1‑4: Diagramas de flujo de efectivo para determinar a) P de una serie uniforme y b) A para un valor presente

Ejemplo

¿Cuánto dinero debería destinarse para pagar ahora por $600 garantizados cada año durante 9 años, comenzando el próximo año, a una tasa de rendimiento de 16% anual?

Solución

El diagrama de flujo de efectivo. El valor presente es:

P = $2 763.90

Factor de serie uniforme (usando el factor de valor futuro)

Ejemplo:

Formasa Plastics tiene grandes plantas de fabricación en Texas y Hong Kong. Su presidente quiere saber el valor futuro equivalente de una inversión de capital de $1 millón cada año durante 8 años, empezando un año a partir de ahora. El capital de Formasa gana a una tasa del 14% anual.

Solución:

El diagrama de flujo de efectivo muestra los pagos anuales que inician al final del año 1 y terminan en el año en que se desea calcular el valor futuro. Los flujos de efectivo se indican en unidades de $1 000. El valor F en 8 años es

F = 1 000 = 1 000(13.2328) = $13 232.80

Factores de gradiante aritmético (usando el factor de valor presente con pago único)

Un gradiente aritmético es una serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en una cantidad constante. Es decir, el flujo de efectivo, ya sea ingreso o desembolso, cambia por la misma cantidad aritmética cada periodo. La cantidad del aumento o de la disminución es el gradiente. Por ejemplo, si un ingeniero industrial predice que el costo del mantenimiento de un robot aumentará en $ 500 anuales hasta que la máquina se desecha, hay una serie gradiente relacionada y la cantidad del gradiente es $500.

Las fórmulas desarrolladas anteriormente para una serie A tienen cantidades de final de año de igual valor. En el caso de un gradiente, el flujo de efectivo de cada final de año es diferente, de manera que es preciso derivar nuevas fórmulas. Primero suponga que el flujo de efectivo al final del año 1 no forma parte de la serie del gradiente, sino que es una cantidad base. Esto es conveniente porque en las aplicaciones reales la cantidad base en general es mayor o menor que el aumento o la disminución del gradiente. Por ejemplo, si una persona compra un automóvil usado con una garantía de un año, se podría esperar que durante el primer año de operación tuviera que pagar tan sólo la gasolina y el seguro.

Suponga que dicho costo es $1 500; es decir, $1 500 es la cantidad base. Después del primer año, la persona tendría que solventar el costo de las reparaciones, y razonablemente se esperaría que tales costos aumentaran cada año. Si se estima que los costos totales aumentarán en $50 cada año, la cantidad al segundo año sería $1 550, al tercero, $1 600, y así sucesivamente hasta el año n, cuando el costo total sería $1 550 + (n – 1)50. El diagrama de flujo de efectivo para esta operación se muestra en la figura 2.10. Observe que el gradiente ($50) aparece por primera vez entre los años 1 y 2, y la cantidad base no es igual al gradiente.

G = cambio aritmético constante en la magnitud de los ingresos o desembolsos de un periodo al siguiente; G puede ser positivo o negativo.

Ejemplo:

Una compañía de ropa deportiva ha iniciado un programa para registrar su logo. Espera obtener ingresos de $80 000 por derechos el próximo año por la venta de su logo. Se espera que los ingresos por derechos se incrementen de manera uniforme hasta un nivel de $200 000 en 9 años. Determine el gradiente aritmético y construya el diagrama de flujo de efectivo.

Solución:

Ejercicios (Descargar aquí)

• La U.S. Border Patrol analiza la compra de un helicóptero nuevo para la vigilancia aérea de la frontera de Nuevo México y Texas con la República mexicana. Hace cuatro años se adquirió un helicóptero similar con un costo de $140 000. Con una tasa de interés de 7% anual, ¿cuál sería el valor equivalente actual de dicho monto?
• Pressure Systems, Inc. fabrica transductores de nivel líquido de gran exactitud. Investiga si debe actualizar cierto equipo ahora o hacerlo después. Si el costo hoy es de $200 000, ¿cuál será la cantidad equivalente dentro de tres años con una tasa de interés de 10% anual?
• Petroleum Products, Inc. es una compañía de ductos que proporciona derivados del petróleo a mayoristas del norte de los Estados Unidos y Canadá. La empresa estudia la compra de medidores de flujo de inserción de turbina que permitan vigilar mejor la integridad de los ductos. Si estos medidores impidieran una interrupción grave (gracias a la detección temprana de pérdida de producto) valuada en $600 000 dentro de cuatro años, ¿cuánto podría actualmente desembolsar la compañía con una tasa de interés de 12% anual?
• Sensotech, Inc., fabricante de sistemas de microelectrónica, supone que puede reducir en un 10% que sus productos sean retirados del mercado si compra software nuevo para detectar las partes defectuosas. El costo de dicho software es de $225 000. a) ¿Cuánto tendría que ahorrar la compañía anualmente durante cuatro años para recuperar su inversión, si usa una tasa mínima aceptable de rendimiento de 15% anual? b) ¿Cuál fue el costo por año de los retiros del mercado antes de que se hubiera comprado el software si la compañía recuperó su inversión exactamente en cuatro años debido a la reducción del 10%?
• La empresa Thompson Mechanical Products planea reservar $150 000 hoy para tal vez reemplazar sus grandes motores sincrónicos de pulido una vez que sea necesario. Si el reemplazo no fuera necesario durante siete años, ¿cuánto tendría la compañía en la inversión que reservó si logra una tasa de rendimiento de 18% anual?
• La empresa fabricante de carros Renault firmó un contrato de $75 millones con ABB de Zurich, Suiza, para automatizar las líneas de montaje del chasis, los talleres de ensamblado de la carrocería y los sistemas de control de línea. Si ABB recibirá el pago dentro de dos años (cuando los sistemas queden listos), ¿cuál es el valor actual del contrato con un interés de 18% anual?
• Atlas Long-Haul Transportation analiza la instalación de registradores de temperatura Valutemp en todos sus camiones frigoríficos a fin de vigilar las temperaturas mientras éstos circulan. Si los sistemas disminuirán las reclamaciones por seguros en $100 000 dentro de dos años, ¿cuánto debe estar dispuesta a pagar ahora la compañía si usa una tasa de interés de 12% anual?
• GE Marine Systems planea suministrar a un armador japonés turbinas de gas aeroderivadoras para impulsar los destructores de tipo 11 DD, de la Fuerza Japonesa de Autodefensa. El comprador puede pagar ahora el importe total de $1 700 000 estipulado en el contrato, o una cantidad equivalente dentro de un año (cuando se necesitarán las turbinas). Con una tasa de interés de 18% anual, ¿cuál es la cantidad futura equivalente?
• ¿Para Corning, Inc., cuál es hoy el valor de un costo futuro de $162 000 dentro de seis años con una tasa de interés de 12% anual?
• ¿Cuánto podría gastar hoy en equipo nuevo Cryogenics, Inc., fabricante de sistemas de almacenamiento de energía basados en superconductores magnéticos, en lugar de dedicar $125 000 dentro de cinco años si la tasa de rendimiento de la compañía es de 14% anual?
• V-Tek Systems es un fabricante de compactadores verticales, y analiza sus requerimientos de flujo de efectivo para los próximos cinco años. La compañía espera reemplazar máquinas de oficina y equipo de computación en varios momentos durante los cinco años del periodo de planeación. Específicamente, la empresa espera gastar $900 000 dentro de dos años, $8 000 dentro de tres, y $5 000 dentro de cinco. ¿Cuál es el valor presente de los gastos planeado con una tasa de interés de 10% anual?